推桿活齒減速機是一種新型的少齒差行星傳動裝置，由于其推桿結構成功地解決了輸入軸與輸出軸同軸的問題，避免了復雜的普通行星輪系的平行四邊形輸出機構和諧波傳動的柔輪，因而與各類機械配套適應性強，并具有結構緊湊，傳動比大，傳動效率高，傳動平穩、噪聲小、壽命長、抗過載能力強等優點，廣泛應用于輕工、紡織、運輸、礦山、冶金、化工、食品等行業各種機械。

　　但由于其內齒圈的齒形曲線復雜，設計計算工作量大，相應的工裝準備周期長，影響系列化、規格化的形成。國內有少數廠家生產，一般采用傳統設計方法，設計工作繁瑣量大、周期長，尤其是內齒圈的加工采用范成加工法，誤差大，齒形曲線不精桷，造成機構運轉時出現干涉、磨損，甚至燒壞、報廢等現象。因此推桿活齒減速機內齒圈齒形優化方法的研究具有重要意義。

　　1內齒圈齒形曲線方程

　　在傳統的內齒圈加工方法中，早期是以密切圓代替包絡曲線，由于誤差大，后來提出了范成加工方法。范成加工是根據活齒傳動的運動原理，應用機構轉化理論，演化出形成內齒圈齒形曲線的加工裝置，通常是對普通機床進行改造來獲得內齒圈加工的專用設備，形成內齒圈齒形的范成運動是靠機床工作臺轉動和刀架往復運動等的合成來實現。由于范成加工采用多個環節的機械傳動方式，在實際生產中難以加工出高精度的齒形曲線。

　　推桿活齒減速機主要由激波器、活齒輪、內齒圈3個基本構件組成，其中激波器包括輸入軸、偏心套和轉臂軸承，活齒輪包括活齒和輸出架。從推桿活齒減速機的工作原理可以看出，齒形復雜的內齒圈是其關鍵部件。內齒圈齒形是活齒外端高副元素的共軛曲線，運用高副低代理論，可以建立活齒傳動的瞬時等效機構。由此得出外滾子中心軌跡極坐標方程為S=acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H.

　?。?）其中：S外滾子中心極徑；a偏心距；b連桿長，b=R rb；R軸承外圓半徑；rb滾子半徑；H推桿長；Zk內齒圈齒數；1輸入軸Y軸角位移；2滾子Y軸角位移。

　　外滾子輪廓族的包絡線形成內齒圈曲線，用包絡曲線的通用求法得齒形曲線方程為：X=Ssin-wrb/w2 1，Y=Scos rb/w2 1（2）其中：w=scos-ssinssin scos，s=dsd=-aZksin（Zk）-a2Zksin（2Zk）2b2-a2sin2（Zk）。

　　由此可知，確定內齒圈齒形曲線的特征參數是偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內齒圈齒數Zk。這5個特征參數確定后，根據以上齒形曲線方程，內齒圈的齒形曲線也就隨之確定。

　　內齒圈齒形曲線特征參數的確定，傳統方法是根據推桿活齒減速機的輸入功率P、傳動比I、輸入轉速N和輸出轉向，由經驗公式計算后，定出偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內齒圈齒數Zk5個特征參數。由經驗公式定出的內齒圈齒形曲線特征參數，并不一定是合理的，即使是合理的，也不一定是最優的，因而有必要對特征參數進行優化調整。

　　2活齒減速機特征參數優化

　　針對推桿活齒減速機容易出現干涉磨損、燒壞報廢的現象，作者提出推桿活齒減速機系統特征參數的優化設計應滿足三方面的優化目標，即：a）最大重合度、b）最小壓力角、c）最佳受力條件，從而使減速機具有最優的傳動性能與動力性能。

　　2.1最大重合度優化目標的實現

　　重合度表示傳動機構同時參加嚙合的齒對數，是表達活齒傳動平穩性和承栽能力的傳動性能指標，是受力分析和計算的重要參數。理論上，當齒形曲線完整無缺時，重合度為滾子數的一半，并為最大重合度。

　　內齒圈齒形曲線理論上是外滾子中心軌跡曲線的等距線，但當外滾子中心軌跡的最小曲率半徑min小于或等于滾子半徑rb時，在齒形曲線的齒頂（曲率半徑最小處），包絡結果就不可能產生等距線，而使齒頂變尖、變短，即出現頂切。當外滾子沿其中心軌跡動動到其齒根點時，，其外包絡線束不在內齒圈齒形上，使滾子與內齒圈瞬時脫開，即同時參加嚙合的齒對數減小，影響了活齒傳動的平穩性和承載能力。因此，不產生頂切的條件是：min！rb，其中min可由外滾子運動的中心軌跡曲線方程求得。由式（1）可得出外滾子中心軌跡曲線的直角坐標方程為：X=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]sin2，Y=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]cls2。

　　由微分幾何學可知，其相對曲率為：KrKrmax=b-aZ2kb2-ab，min=1Kymax=b2-abb-aZ2k=（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k；。

　　由此得出避免頂切的條件為：（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k！rb（3）可見，外滾子中心軌跡的最小曲率半徑min與系統特征參數中的軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、偏心距a和內齒圈齒數Zk4個特征參數有關，式（3）是一個多約束條件的關系式。在系統特征參數的優化設計中，式（3）必須成立，才能不產生頂切，滿足最大重合度的優化要求。作者經過進一步的分析發現，R，rb、a和Zk4個特征參數中，以Zk對min的影響最大。當產生頂切時，一般Zk>30，此時min<rb成立。

　　系統特征參數中的Zk是用戶根據機器性能提出的傳動(我國齒輪傳動制造業現狀分析)比要求，是確定不變的，軸承外半徑R需滿足強度要求，一般也不變。因此最大重合度優化目標的實現方法是通過改變a和rb去消除頂切。考慮結構因素，同時減小rb和a的方案比上述兩種方案顯然要恰當些，根據式（3）可找出臨界條件時，rb和a的關系為：a=（R rb）2 （R rb）rb（R rb） rbZ2k由于根據設計標準的要求，rb和a的取值只能是離散減小的，故滿足此條件的rb和a為有限組數，即此時可以獲得多對（rb，a）參數，由于不出現頂切干涉，因此它們都滿足最大重合度的優化要求。

　　2.2最小壓力角優化目標的實現

　　在以上通過減?。╮b，a），可以找到消除頂切的多組（rb，a），現再以傳動中齒廓曲線壓力角最小作為優化目標，對多組（rb，a）進行優化選擇。

　　齒廓曲線的壓力角是嚙合點法線與從動件中力作用點的速度方向所夾的銳角，壓力角是評價齒廓受力狀態的重要參數。壓力角越大，運動表面相對滑動造成的摩擦越大，使推桿移動副受力狀態惡劣，大大降低動動效率；壓力角越小，則活齒齒輪副的傳動性能愈好，傳動效率越高。壓力角的計算公式為：tan=d（sccos2）d（scsin2）=Zksin（Zk2）cos2 （b/a）2-sin2（Zk2）sin2Zksin（Zk2）sin2 （b/a）2-sin2（Zk2）cos2（4）欲使壓力角減小，則需考慮各個參數對的影響。對于某一位置2的壓力角，在R和Zk已定的情況下，只有rb和a對有影響。因上這公式比較復雜，作者利用計算機技術繪制出不同的rb和a對的影響曲線，結果發現，當a和rb增大，將隨之減小，rb的變化對的影響不大，而a的變化對的影響較明顯。因此，最小壓力角的優化目標，主要通過增大偏心距a來實現。

　　2.3最佳受力條件優化目標的實現在滿足頂切臨界條件的多組（rb，a）中，為減小壓力角提高傳動效率，自然會選擇較大的偏心距a和滾子半徑rb，這時需要考慮的第3個優化目標是使推桿活齒在傳動中受力狀況最佳。

　　活齒滾子與內齒圈在嚙合過程中是多齒接觸，它們之間的載荷較復雜。推桿活齒在傳動中受3種力的作用：FQ內齒圈作用于推桿活齒的力，其作用方向沿嚙合點的公法線方向；FP激波器作用于推桿活齒的力，其作用方向沿偏心輪與滾子接觸點的法向：F1、F2活齒架徑向導槽作用于推桿活齒的力，其作用方向與徑向導槽移動副的摩擦磨損有關。以推桿活齒為受力對象，為便于分析，將推桿活齒作質點處理，假設零件之間無間隙存在，摩擦力、慣性力、自重忽略不計，可列出如下的力平衡方程X=0，FPsin（ 1） FQsin（？-3）-（F1-F2）=0

　　Y=0，FPcos（ 1） FQcos（？-3）-（F1 F2）f2=0；

　　MB=0，F1（LC-LD）-F2（LA LC-LD）=0.

　　由此可以得出驅動力FP和載荷FQ的關系方程為：FP=Fq[（k-1）cos（？-3） （k 1）F2sin（-3）]（k-1）cos（ ）1-（k 1）f2sin（ 1），k=（LA LC LD）/（LC-LD）。

　　（5）其中分別為Fp、FQ的工作角；1、2、3分別為激波器與滾子、輸出架與推桿、滾子與內齒圈間的摩擦角；LA、LC、LD分別為推桿活齒外伸長度、活齒導槽長度、推桿活齒所受三力匯交點到推桿活齒外端面的垂直距離；k為表征推桿活齒移動副各部分尺寸關系的尺度系數。

　　由上式可知，當外載荷FQ一定時，尺度系數k越大，所需驅動力FP越小，為此在滿足傳動性能要求的前提下，應使尺度系數k盡可能大。由k與LA、LC、LD的關系可知，增大k有三種途徑：減小LA、增大LC和LD。由于增大LC和LD意味著要增大推桿長度H，導致減速機的徑向尺寸增大，這一般不為用戶所接受，故只有減小LA才是可行的。

　　推桿活齒在工作結束位置和工作開始位置時，推桿活齒外伸長度LA分別具有最大值和最小值，得：LAmax=2a M-rb，LAmin=M-rb其中M為內齒圈齒頂與活齒架外圓間的徑向距離，M一般取12mm，減小LA可至LAmin=0，由此得rb=2a M，于是得出推桿活齒移動副受力最佳條件為rb=2a M.

　　3內齒圈齒形優化方法的實際應用

　　在上述推桿活齒減速機數學模型的基礎上，作者建立了推桿活齒減速機的CAD/CAM系統。該系統的功能模塊框圖如所示。

　　其中設計優化模塊的參數設計包含3種方式：系列選擇、自行輸入、自定參數。無論采用那種方式設計，其參數都可以進行優化，最后獲得確定內齒圈齒形曲線的5個優化特征參數即偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內齒圈齒數Zk。

　　仿真分析模塊主要是用于模擬推桿活齒減速機的機構運動，動態顯示傳動過程中激波器、活齒輪、內齒圈3個基本構件的嚙合傳動過程，校驗干涉現象，繪制齒形曲線，對推桿活齒減速機的運動特性、動力特性進行分析等。

　　生成代碼模塊主要是用于設定內齒圈齒形加工的工藝參數，生成相應的數控加工代碼，并進行加工仿真等。

　　加工通訊模塊用于設置通訊參數，向數控機床的控制系統傳送數控代碼。

　　文件管理模塊用于打印設計結果所生成的ASCII碼文本文件，并生成可與TOPCAD或AUTOCAD相交換的圖形文件，從而繪制出設計圖形。

　　推桿活齒減速機CAD/CAM系統功能模塊為了驗證上述CAD/CAM系統的正確性，作者從工廠取回了某種型號的推桿活齒減速機的內齒圈樣品，該樣品已用范成法進行了銑削加工，尚未進行熱處理及磨削。工廠生產該型號的推桿活齒減速機時，設計所采用的基本參數如下：減速機功率P：2.2kW傳動比I：12輸入轉速N：1450r/min輸出轉向：同向偏心距a：3.5mm軸承外半徑R：40mm滾子半徑rb：7mm推桿長H：22mm內齒圈齒數Zk：11工廠樣品齒形曲線與CAD/CAM系統所生成齒形曲線的比較利用我校五山校區CAM中心的數控仿形系統，讀取其內齒圈的齒形曲線。同時作者將工廠提供的設計參數輸入上述CAD/CAM系統，先不對參數進行優化，直接進行計算并生成內齒圈的齒形曲線。將樣品曲線與系統生成曲線進行比較，結果如所示。

　　可以看出，工廠樣品的內齒圈齒形曲線與CAD/CAM系統所生成的內齒圈齒形曲線是完全吻合的。由于CAD/CAM系統生成的是內齒圈成品的精確齒形曲線，而工廠樣品尚未進行熱處理及磨削，因此，兩曲線之差即為考慮磨削加工時所留的加工余量。這表明應用作者開發的推桿活齒減速機CAD/CAM系統所設計出的內齒圈齒形曲線，與工廠生產實際中的齒形曲線是一致的。

　　作為上述優化方法的進一步應用，作者又將工廠提供的設計參數輸入上述CAD/CAM系統后，對之進行參數優化。首先發現該套參數存在頂切問題，并不是一套優化了的設計參數。校核計算的結果是，其外滾子中心軌跡的最小曲率半徑為5.43mm，小于滾子半徑7mm，因而不滿足最大重合度的優化要求。作者利用CAD/CAM系統對之進行優化計算后，獲得的一套優化設優化前、后齒形曲線的比較減速機功率P：2.2kW傳動比I：12輸入轉速N：1450r/min輸出轉向：同向偏心距a：2.75mm軸承外半徑R：40mm滾子半徑rb：7mm推桿長H：21mm內齒圖齒數Zk：11可以看出，CAD/CAM系統在優化過程中對偏心距a、推桿長H等進行了調整。優化設計后，外滾子中心軌跡的最小曲率半徑為7.28mm，小于滾子半徑7mm，既消除了頂切問題的產生，又滿足了最大重合度的優化要求，同時滿足推桿活齒移動副受力最佳條件：rb=2a M，M=12mm的要求。將優化前、后的內齒圈齒形曲線進行比較，結果如所示。

　　4結束語

　　推桿活齒減速機是一種新型的少齒差行星傳動裝置，廣泛應用于輕工、紡織、運輸、礦山、冶金、化工、食品等行業各種機械。由于其內齒圈的齒形曲線復雜，采用傳統的經驗公式進行設計和加工，難免造成機構運轉時出現干涉、磨損，甚至燒壞、報廢等現象。

　　為此作者提出了滿足最大重合度、最小壓力角、最佳受力條件的齒形優化設計方法。即設計參數應首先滿足頂切臨界條件，此時可以獲得多對（rb，a）參數，由于不出現頂切干涉，因此它們都滿足最大重合度的優化要求。其次，為減小壓力角，改善受力條件，提高傳動效率，可對偏心距a進行適當調整，使之在滿足上述條件的同時滿足推桿活齒移動副受力最佳條件：rb=2a-M，M=12mm.從中獲得最優的偏心距a、滾子半徑rb來進行內齒圈齒形曲線的優化設計。

　　并結合工廠的生產實際問題進行了實際的應用，結果表明，應用所提出的優化方法取得了滿意的優化設計結果。